Istituzioni di matematica II (Prima Parte)

Informazioni

Docente: Annamaria Sorato

Email: amsorato@unive.it

Web Site: www.dma.unive.it/~amsorato

Orario lezioni

Giov: 14 - 15.30 (Aula 3)

Ven: 14 - 15.30 (Aula 3)

Ven: 15.45 - 17.15 (Aula 3) Esercitazione

Orario ricevimento del IV periodo

Sede di Venezia Lunedì dalle 14 alle 17.

Modalità d'esame

IMPORTANTE: è obbligatoria l'iscrizione alla lista telematica.

ESAMI

Inoltre è prevista una prova intermedia (compitino) alla fine della prima parte del corso con le modalità rese note a lezione.

Testo dell'esercitazione del 7 aprile 2009

Soluzioni dell'esercitazione del 7 aprile 2009

Risultati dell'esercitazione del 7 aprile 2009

Libro di testo

V. Barutello, M: Conti, D. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica Vol.2, APOGEO.

Testi consigliati e sussidi in rete

G. Giorgi, Appunti di Algebra Lineare, G. Giappichelli, Torino.

Corso di Algebra Lineare Online dell'Università di Pisa

Programma del corso del corso

Vettori e calcolo geometrico: n-uple e vettori; sistemi di equazioni di primo grado; metodo di eliminazione di Gauss; indipendenza lineare e dimensione; coordinate cartesiane; prodotto di vettori e calcolo di aree e volumi; rette e piani. Matrici e operatori lineari: spazi vettoriali; matrici e trasformazioni lineari; determinante; autovalori e autovettori; forme quadratiche.

Programma dettagliato e traccia delle lezioni

• I settimana:
  • Definizione di spazio vettoriale ed esempi. Lo spazio vettoriale delle n-ple ordinate di numeri reali. Operazioni tra vettori (IV.1, IV.2, IV.4, IV.5.1, IV.5.3).
  • Norma di un vettore. Versori. Distanza tra due vettori. Prodotto scalare e proprietà. Vettori ortogonali (IV.34, IV.38, IV.39, IV.40, IV.42).
  • Combinazione lineare di vettori (pag. 166).
  • Interpretazione geometrica in una, due e tre dimensioni (III.3)

  Esercizi

• II settimana:
  • Vettori linearmente dipendenti e indipendenti. Proprietà. Se k vettori sono lin. dip. allora uno di loro è combinazione lineare degli altri (con dimostrazione) (III.8, III.9)
  • Definizione di sottospazio vettoriale e di spazio generato da un insieme di vettori (Span) (IV.6).
  • Insieme di generatori e base di uno spazio vettoriale (IV.8, IV.9, IV.10, IV.11, IV.12).
  • Unicità delle cordinate di un vettore rispetto una base (con dimostrazione pag.168).
  • Tutte le basi di uno stesso spazio vettoriale contengono lo stesso numero di vettori (con dimostrazione). Se uno spazio V ha una base con n vettori, allora m > n vettori sono lin. dip. (IV.13, IV.14).
  • Definizione di dimensione. Ogni spazio vettoriale di dimensione n è isomorfo a Rⁿ. Proprietà delle basi. (IV.15, IV.16, IV.17, IV.18).

  Esercizi

• III settimana:
  • Matrici, operazioni tra matrici e proprietà (IV.19, IV.20, IV.21, IV.22, IV.23).
  • Definizione di funzione lineare, esempi (IV.24).
  • Teorema di rappresentazione - Matrice associata (con dimostrazione). Esempi (IV.25, IV.26).
  • Definizione di Nucleo e Immagine (IV.28).
  • Il Nucleo e l'Immagine sono sottospazi vettoriali (con dimostrazione) (Esercizio 9 di pag.221). Nullità. Teorema delle dimensioni e verifica attraverso esempi.
  • Funzioni lineari iniettive, suriettive, biiettive. Una funzione lineare è iniettiva se e solo se il nucleo contiene solo il vettore nullo (con dimostrazione).
  • Funzioni lineari composte: una funzione composta di due funzioni lineari è lineare e la matrice associata è il prodotto, righe per colonne, delle matrici (con dimostrazione) (IV.29).

  Esercizi

• IV settimana:
  • Il problema dell'invertibilità di una matrice quadrata. Definizione di matrice invertibile e di matrice inversa. Matrice di cambio base. Matrice associata ad una funzione lineare con cambio di base (IV.30, IV.31, IV.32, IV.33)
  • Definizione di determinante ( teorema di esistenza con dimostrazione in due dimensioni). Area del parallelogramma. Matrice trasposta (IV.54, IV.55, III.21, III.22).
  • Calcolo del determinante (teorema di Laplace) e sue propretà (IV.56, IV.57, IV.58, IV.60).
  • Sistemi lineari: generalità e interpretazione vettoriale (IV.22, IV.23).
  • Teorema sull'equivalenza delle condizioni: 1) Il determinante di A è diverso da zero. 2) Le colonne di A sono lin. indip. 3) Il sistema Ax = b ha una sola soluzione per ogni b. 4) Le righe di A sono lin. indip. ( con dimostrazione per 2) e 3)) (IV.59).

  Esercizi

• V settimana:
  • Condizione di invertibilità di una matrice quadrata (con dimostrazione). Calcolo della matrice inversa. Teorema di Cramer (con dimostrazione) (IV.61, IV.62)
  • Definizione di rango di una matrice (IV.63).
  • Teorema sull'equivalenza delle condizioni: 1) Il rango di A è uguale a k. 2) Il rango della trasposta di A è uguale a k. 3) Esiste una sottomatrice quadrata di A di ordine k con determinante diverso da zero e tutte le sottomatrici quadrate di ordine maggiore hanno det = 0. 4) il nucleo della funzione lineare associata ad A ha dimensione n-k (IV.64).
  • Sistemi omogenei. Relazione tra l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare di m equazioni ed n incognite ed il sistema omogeneo associato. Soluzione di sistemi lineari: teorema di Rouché Capelli (con dimostrazine) (IV.65).
  • Soluzione di sistemi lineari con il metodo di Gauss (III.6, III.7).

  Esercizi

• VI settimana:
  • Rette: equazione parametrica e cartesiana di una retta, proprietà (III.33, III.35, III.36, III.37).
  • Rette parallele, vettore normale, rette ortogonali (III.40, III.41, III.42).
  • Piani: equazione parametrica e cartesiana di un piano (III.43, III.44).
  • Piani paralleli, vettore normale, piani ortogonali (III.45, III.46, III.47).
  • Autovalori e autovettori di una matrice quadrata, polinomio caratteristico. Matrici simili e matrici diagonali (IV.32, IV.77, IV.82, IV.80).

  Esercizi

• VII settimana:
  • Una matrice nxn è diagonalizzabile se e solo se ha n autovettori lin. indip. (con dimostrazione). Gli autovettori corrispondenti ad autovalori ditinti, sono lin. indip. (IV.75, IV.78, IV.79, IV.81).
  • Matrici simmetriche e loro proprietà . Diagonalizzazione di matrici simmetriche mediante basi ortogonali (IV.83, IV.84).
  • Forme quadratiche: definizione e classificazione. Criteri per classificare una forma quadratica: criterio degli autovalori e criterio dei minori principali (IV.66, IV.67, IV.70, IV.72, IV.74, IV.85, IV.86).

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